如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且AF=λAD（0≤λ≤12），则

Question

如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4，AA₁=1，设E为底面ABCD的中心，且

AF

=λ

AD

（0≤λ≤ (1)/(2)），则该长方体中经过点A₁、E、F的截面面积的最小值为___．

Answer 1

设截面为A₁FMN，显然A₁FMN为平行四边形，过A点作AG⊥MF与G，则MG⊥A₁G，作MK⊥AD与K，
根据题意AF=4λ，则CM=DK=4λ，KF=4-8λ，MF=√(42+(4-8λ)2)，
易知Rt△MKF∽Rt△AGF，∴(KM)/(MF)=(AG)/(4λ)，∴AG=(16λ)/(MF)，
∴A₁G²=AG²+AA₁²=((16λ)2)/(MF2)+1，
∴S_截面²=MF²×A₁G²=MF²×（((16λ)2)/(MF2)+1）=16²λ²+4²+（4-8λ）²
=32（10λ²-2λ+1）=320（λ-(1)/(10)）²+(144)/(5)（0≤λ≤(1)/(2)），
∴当λ=(1)/(10)时，S_截面²=取得最小值(144)/(5)，此时S_截面为(12√(5))/(5)．
故答案为：(12√(5))/(5)．