如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点．（1）指出平面ADM与PB的交点N所在位置，并给出理由；（2）求平面ADM将四棱锥P-ABCD分成上下两部分的

Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点．

（1）指出平面ADM与PB的交点N所在位置，并给出理由；
（2）求平面ADM将四棱锥P-ABCD分成上下两部分的体积比．

Answer 1

（1）N为PB中点．
理由如下：
∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
又∵AD⊂平面AMD，平面AMD∩平面PBC=MN，
∴AD∥MN，
又∵M为PC的中点，∴N为PB的中点．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AD⊥PA
又∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，又∵AN⊂平面PAB，∴AD⊥AN，
∵MN是△PBC的中位线，且BC=1，∴MN=(1)/(2)，
又AN=(PB)/(2)=(√(5))/(2)，∴SADMN=(1)/(2)×((1)/(2)+1)×(√(5))/(2)=(3√(5))/(8)，
∵P点到截面ADMN的距离为P到直线AN的距离d=(2)/(√(5))，
∴四棱锥P-ADMN的体积V1=(1)/(3)×(3√(5))/(8)×(2)/(√(5))=(1)/(4)
而四棱锥P-ABCD的体积V=(1)/(3)×2×1=(2)/(3)，
∴四棱锥被截下部分体积V2=V-V1=(2)/(3)-(1)/(4)=(5)/(12)
故上、下两部分体积比

作业帮用户 2017-11-02

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