若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面变长是多少

Question

若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面变长是多少

Answer 1

设底边边长为a,高为h,则V=√3/4 a^2 *h
h=4√3V/(3a^2),
表面积为S=3ah+√3/2 a^2
=4√3V/a + √3/2 a^2
剩下的可以求导,我用均值不等式做的
=2√3V/a + 2√3V/a+√3/2 a^2>=...
等号成立的条件 2√3V/a =√3/2 a^2 ,a=三次根号下4V
其中等边三角形的面积为√3/4边长的平方