半径为1的球O内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是．

Question

半径为1的球O内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是___．

Answer 1

如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O₂A=(√(3))/(3)x，
在Rt△OAO₂中，(h2)/(4)+(1)/(3)x2=1，
化为h²=4-(4)/(3)x²．
∵S_侧=3xh，
∴S_侧²=9x²h²=12x²（3-x²）≤12((x2+3-x2)/(2))2=36．
当且仅当x=(√(6))/(2)时取等号，S_侧=6．
∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-6，
故答案为：4π-6．