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如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为．
题目详情
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为______．
▼优质解答
答案和解析
如图，连接B1D易证B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，
则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则可得AD=
=CD，
由等面积法算得AG=
=
所以直线AD与面DCB1的正弦值为
；
故答案为
．
如图，连接B1D易证B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则可得AD=
| 5 |
由等面积法算得AG=
| AC×AA 1 |
| CD |
4
| ||
| 5 |
所以直线AD与面DCB1的正弦值为
| 4 |
| 5 |
故答案为
| 4 |
| 5 |
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