在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝tcosαy＝1+tsinα（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲

Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x＝tcosα

y＝1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．

Answer 1

（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx-cosαy+cosα=0．
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，
曲线C的标准方程：x²=4y．
（2）将

x＝tcosα

y＝1+tsinα

代入曲线C的标准方程：x²=4y得：
t²cos²α-4tsinα-4=0，
∴|AB|=|t₁-t₂|=√(((4sinα)/(cos2α))2−4×(−4)/(cos2α))=8，
∴cosα=±(√(2))/(2)．
∴α＝(π)/(4)或(3π)/(4)．