在直角坐标系xOy中，直线l：x=tcosαy=tsinα（t为参数，α∈（0，π2））与圆C：（x-1）2+（y-2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（

Question

在直角坐标系xOy中，直线l：

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，α∈（0，(π)/(2)））与圆C：（x-1）²+（y-2）²=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l与圆C的极坐标方程；
（2）求(1)/(|OA|)+(1)/(|OB|)的最大值．

Answer 1

（1）直线l：

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，α∈（0，(π)/(2)））化为普通方程：y=xtanα．α∈（0，(π)/(2)）．可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，(π)/(2)）
圆C：（x-1）²+（y-2）²=4展开可得：x²+y²-2x-4y+1=0，可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0．
（2）直线l：

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，α∈（0，(π)/(2)）代入上述圆的方程可得：t²-（2cosα+4sinα）t+1=0．
∴t₁+t₂=2cosα+4sinα，t₁•t₂=1．
∴(1)/(|OA|)+(1)/(|OB|)=(|t1|+|t2|)/(|t1t2|)=2cosα+4sinα=2√(5)sin（α+φ）≤2√(5)，φ=arctan(1)/(2)．
∴(1)/(|OA|)+(1)/(|OB|)的最大值为2√(5)．