在平面直角坐标中xOy中，曲线C1的参数方程是x=1-2ty=2t（t是参数），曲线C2的普通方程是x2+y2=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的极坐标方程

Question

在平面直角坐标中xOy中，曲线C₁的参数方程是

x=1-2t

y=2t

（t是参数），曲线C₂的普通方程是x²+y²=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．
（Ⅰ）写出C₁的普通方程和C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）A是C₁上的点，射线OA与C₂相交于点B，点P在射线OA上，|OA|、|OB|、|OP|成等比数列．求点P轨迹的极坐标方程，并将其化成直角坐标方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程是

x=1-2t

y=2t

（t是参数），∴C₁的普通方程是x+y=1．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C₂的普通方程x²+y²=1，化简得C₂的极坐标方程是ρ=1．…（5分）
（Ⅱ）将x=ρcosθ，x=ρsinθ代入C₁的普通方程x+y=1，化简得C₁的极坐标方程为ρ=(1)/(cosθ+sinθ)．
设P（ρ，θ），由题意得，(ρ)/(cosθ+sinθ)=1，∴点P轨迹的极坐标方程是ρ=cosθ+sinθ．
方程ρ=cosθ+sinθ可化为ρ²=ρcosθ+ρsinθ（ρ≠0），
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入并化简得，（x-(1)/(2)）²+（y-(1)/(2)）²=(1)/(2)（x、y不同时为零）．
即点P的轨迹的直角坐标方程是（x-(1)/(2)）²+（y-(1)/(2)）²=(1)/(2)（x、y不同时为零）．…（10分）