已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A

Question

已知曲线 的参数方程是  (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 .
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为 上任意一点，求 的取值范围．

Answer 1

已知曲线 的参数方程是  (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 .
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为 上任意一点，求 的取值范围．

（Ⅰ）A(1， )，B(－ ，1)，C(－1，－ )，D( ，－1)；（Ⅱ） 的取值范围是[32,52]

试题分析：（Ⅰ）根据已知条件可得A（2cos ，2sin ），B（2cos（ ＋ ）,2sin（ ＋ ）），C（2cos（ ＋π）,2sin（ ＋π）），D（2cos（ ＋ ）,2sin（ ＋ ）），然后将其化为直角坐标即可；（Ⅱ）设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝ ，利用三角函数求解.
试题解析： (1)由已知可得A（2cos ，2sin ），B（2cos（ ＋ ）,2sin（ ＋ ）），
C（2cos（ ＋π）,2sin（ ＋π）），D（2cos（ ＋ ）,2sin（ ＋ ）），4分
即A(1， )，B(－ ，1)，C(－1，－ )，D( ，－1)．   5分
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝ ，
则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.  9分
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．         10分