在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线的方程为，又与的交点为，

Question

在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，射线 的方程为 ，又 与 的交点为 ， 与 的除极点外的另一个交点为 ，当 时， ．
（1）求 的普通方程， 的直角坐标方程；
（2）设 与 轴正半轴的交点为 ，当 时，求直线 的参数方程.

Answer 1

在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，射线 的方程为 ，又 与 的交点为 ， 与 的除极点外的另一个交点为 ，当 时， ．
（1）求 的普通方程， 的直角坐标方程；
（2）设 与 轴正半轴的交点为 ，当 时，求直线 的参数方程.

（1）x ² +y ² -6x=0．
（2）

试题分析：（Ⅰ）曲线C ₂ 的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ ² =6ρcosφ，
直角坐标方程为x ² +y ² -6x=0．
曲线C ₁ 的参数方程为  (1＜a＜6，φ为参数），易消去φ得
曲线C ₁ 的直角坐标方程为
当α=0时，射线l与C ₁ ，C ₂ 交点的直角坐标分别为（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2．∴C ₂ 直角坐标方程
（Ⅱ）当α= 时，由x ² + y ² -6x=0，y=x得B（3，3）或B（0，0），又B不为极点，∴B（3，3），由（Ⅰ）得D（0，1）
直线BD的参数方程为x=tcosθ，y=1+tsinθ（t为参数），因为经过B（3，3），∴|DB|= ，∴cosθ= ，sinθ= ∴直线BD的参数方程为
点评：本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的互化、应用．考查了直线、圆、椭圆的基本知识．