设函数y=y（x）由参数方程x＝x(t)y＝∫t20ln(1+u)du确定，其中x（t）是初值问题dxdt−2te−x＝0x|t−0＝0的解．求d2ydx2．

Question

设函数y=y（x）由参数方程

     x＝x(t)

y

＝∫

t2 0

ln(1+u)du

确定，其中x（t）是初值问题

(dx)/(dt)−2te−x＝0

x|t−0＝0

的解．求(d2y)/(dx2)．

Answer 1

由(dx)/(dt)−2te−x＝0得到，e^xdx=2tdt，
∴两边积分∫e^xdx=∫2tdt 得，e^x=t²+C（C为任意常数）
又∵x|_t=0=0
∴C=1
∴e^x=t²+1
∴x=ln（t²+1）
∴(dy)/(dx)＝((dy)/(dt))/((dx)/(dt))＝(2tln(t2+1))/((2t)/(t2+1))＝(1+t2)ln(1+t2)=xe^x
∴(d2y)/(dx2)＝(1+x)ex