已知向量abc满足a+b+c＝0且a与b的夹角为135度,b与c的夹角为120度,｜c｜＝2,则｜a｜＝,｜b｜=.

Question

已知向量abc满足a+b+c＝0且a与b的夹角为135度,b与c的夹角为120度,｜c｜＝2,则｜a｜＝,｜b｜=.

Answer 1

∵a+b+c＝0
∴c=-a-b,=135º
∴|c|²=(-a-b)²=|a|²+|b|²+2a●b=|a|²+|b|²-√2|a||b|
∴|a|²+|b|²-√2|a||b|=4 ①
∵a=-b-c ,=120º
∴|a|²=(-b-c)²=|b|²+|c|²-|b||c|=|b|²+4-2|b| ②
②代入①：
|b|²+4-2|b|+|b|²-√2|b||a|=4
∴2|b|²-2|b|-√2|a||b|=0
解得|a|=√2(|b|-1),代入 ②
∴2(|b|²-2|b|+1)=|b|²+4-2|b|
∴|b|²-2|b|-2=0
解得|b|=1+√3
|a|=√2(|b|-1)=√6