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已知向量abc满足a+b+c=0且a与b的夹角为135度,b与c的夹角为120度,|c|=2,则|a|=,|b|=.
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已知向量abc满足a+b+c=0且a与b的夹角为135度,b与c的夹角为120度,|c|=2,则|a|=,|b|=.
▼优质解答
答案和解析
∵a+b+c=0
∴c=-a-b,=135º
∴|c|²=(-a-b)²=|a|²+|b|²+2a●b=|a|²+|b|²-√2|a||b|
∴|a|²+|b|²-√2|a||b|=4 ①
∵a=-b-c ,=120º
∴|a|²=(-b-c)²=|b|²+|c|²-|b||c|=|b|²+4-2|b| ②
②代入①:
|b|²+4-2|b|+|b|²-√2|b||a|=4
∴2|b|²-2|b|-√2|a||b|=0
解得|a|=√2(|b|-1),代入 ②
∴2(|b|²-2|b|+1)=|b|²+4-2|b|
∴|b|²-2|b|-2=0
解得|b|=1+√3
|a|=√2(|b|-1)=√6
∴c=-a-b,=135º
∴|c|²=(-a-b)²=|a|²+|b|²+2a●b=|a|²+|b|²-√2|a||b|
∴|a|²+|b|²-√2|a||b|=4 ①
∵a=-b-c ,=120º
∴|a|²=(-b-c)²=|b|²+|c|²-|b||c|=|b|²+4-2|b| ②
②代入①:
|b|²+4-2|b|+|b|²-√2|b||a|=4
∴2|b|²-2|b|-√2|a||b|=0
解得|a|=√2(|b|-1),代入 ②
∴2(|b|²-2|b|+1)=|b|²+4-2|b|
∴|b|²-2|b|-2=0
解得|b|=1+√3
|a|=√2(|b|-1)=√6
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