如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球镶嵌在一个质量不计的圆盘A、B两点．圆盘可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动，AO、BO的距离分别为2L和L．开始时A、O两点位于同一水平位置，B在O

Question

如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球镶嵌在一个质量不计的圆盘A、B两点．圆盘可绕固定转轴O在竖直平面内无摩擦转动，AO、BO的距离分别为2L和L．开始时A、O两点位于同一水平位置，B在O的正下方，然后让该系统由静止开始自由转动，（sin37°=0.6），求：
（1）当A转到最低点时，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）若使圆盘能一直绕转轴O顺时针方向转动，需要对该系统做功．则至少要对该系统做多少功？

Answer 1

以圆盘和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒．
v_A=2v_B（1）
过程中A、B转动的角速度始终相同，
△E_PA=△E_KA+△E_KB+△E_PB
系统的机械能守恒
即：2mg•2L＝3mg•L+(1)/(2)•2m•v2+(1)/(2)•3m•

v

2 B

解得   v＝√((8gL)/(11))

（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角．如图所示（2）．则有
2mgž2Lcosα=3mgžL（1+sinα）
此式可化简为   4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
B球能上升的最大高度h=L（1+sin16°）；
（3）转动过程中系统的重力势能最大时，动能最小．要使圆盘能绕转轴O顺时针方向一直转动，系统应转过动能最小处．如图（3）所示．
取OA杆的初始位置为零势能参考点，则如图（3）所示处系统的重力势能为E_P=2mg•2Lcosθ+3mg•Lsinθ
此式可化简为E_P=mgL（4cosθ+3sinθ）≤5mgL
系统的重力势能最大值E_P=5mgL
系统位于初始位置的重力势能E_P0=-3mg•L
由功能观点有：W=△E_P增=E_P-E_P0=8mgL至少要对该系统做功W=8mgL；
答：（1）当A转到最低点时，A小球的速度大小v√((8gL)/(11))
（2）B球能上升的最大高度h为L（1+sin16°）；
（3）若使圆盘能一直绕转轴O顺时针方向转动，需要对该系统做功．则至少要对该系统做功8mgL．