如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转到，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力Fmax

Question

如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转到，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s²．

（1）求杆转动角速度ω的最小值；
（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式；
（3）求第（2）问过程中杆对每个环所做的功．

Answer 1

（1）∵角速度最小时，f_max沿杆向上，则
F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
FNcos45°−fmaxsin45°＝mrω12，
且f_max=0.2F_N，r＝(l)/(2)，
代入数据解得ω₁=(10)/(3)≈3.33rad/s
（2）当f_max沿杆向下时，有
F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
F_Ncos45°+f_maxsin45°=mrω22，
代入数据解得ω₂=5rad/s
当细线拉力刚达到最大时，有
F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
F_Ncos45°+f_maxsin45°+F_max=mrω32，
∴ω₃=10rad/s
则F_拉=

0((10)/(3)rad/s≤ω≤5rad/s)

0.06ω2−1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s)

．
（3）根据动能定理，有
W＝(1)/(2)m(ω3r)2−(1)/(2)m(ω1r)2
代入数据解得W=1.6J．
答：（1）杆转动角速度ω的最小值为3.33rad/s；
（2）此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式F_拉=

0((10)/(3)rad/s≤ω≤5rad/s)

0.06ω2−1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s)

．；
（3）第（2）问过程中杆对每个环所做的功为1.6J．