设抛物线过定点A（0,2）,且以x轴为准线（1）求抛物线顶点M的轨迹C的方程（2）问过定点B（-5/2,1）是否在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点?请证明你的结论.

Question

设抛物线过定点A（0,2）,且以x轴为准线
（1）求抛物线顶点M的轨迹C的方程
（2）问过定点B（-5/2,1）是否在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点?请证明你的结论.

Answer 1

抛物线焦点F,FT垂直x轴于T,
AF＝AO,FM＝MT
F(m,2n)
M(m,n)
F (y-2)^2+x^2=4
M 4(y-1)^2+x^2=4
由于B在椭圆对称轴上,设y－1＝x＋2.5
即y＝x＋3.5
因为 4(y-1)^2+x^2=4
所以(2x＋5)^2+x^2=4
5（x＋2）^2+1=0
所以斜率为1的直线和椭圆没交点
同理斜率为－1的直线和椭圆没交点
所以过B做椭圆2切线,切点X,Y,角XBY