设抛物线方程为x^2=2py(p>0),过准线上的任意点作抛物线的两条切线,求证两切线互相垂直.

Question

设抛物线方程为x^2=2py(p>0),过准线上的任意点作抛物线的两条切线,求证两切线互相垂直.

Answer 1

证明：x^2=2py,y=2x^2/2p,y'=x/p
故过抛物线上任意一点(x1,y1)的切线的斜率为k1=x1/p
则过(x1,y1)点的切线方程为：
y-X1^2/2p=x1/p*(x-x1)
即:y=x1/p*(x-x1/2) .(1)
设M(m,-p/2)是抛物线准线上任意一点.
方程(1)过M点,则-p/2=x1/p*(m-x1/2)
整理得：x1^2-2x1*m-p^2=0
同理,过(x2,y2),(m,-p/2)的切线满足：
x2^2-2x2*m-p^2=0
故x1、x2是方程x^2-2x*m-p^2=0的两根
则 x1*x2=-P^2
则k1*k2=x1/p*x2/p=x1*x2/p^2=-1
故：两切线互相垂直.