已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点（-3,2）,离心率为√3/3,圆O的圆心在坐标原点,直径为椭圆的短轴,圆M的方程为（x-8）^2+()y-6)^2=4,过圆M上任一点P作圆O的切线PA,PB,且点分别为A,B.（1）求椭圆方程

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点（-3,2）,离心率为√3/3,圆O的圆心在坐标原点,直径为椭圆的短轴,圆M的方程为（x-8）^2+()y-6)^2=4,过圆M上任一点P作圆O的切线PA,PB,且点分别为A,B.
（1）求椭圆方程
（2）若直线PA与圆M的另一交点为Q点,当弦PQ最大时,求直线PA的方程
（3）求OA向量乘OB向量的最大值和最小值

Answer 1

（1）∵椭圆过点（-3,2）,∴ 9/a^2+4/b^2=1 ……（*）
∵ e=根号3/3,∴1/3=e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2 ,∴b^2=2a^2/3 ,代入（*）得：
∴ a^2=15,b^2=10故 椭圆方程为 x^2/15+y^2/10=1.
（2）当弦PQ最大时,PQ是圆M的直径,这时直线PA经过点M（8,6）,设直线PA的斜率为k ,直线PA的方程为：y-6=k(x-8) ∵直线PA与圆O相切,∴点O到直线PA的距离等于圆O的半径 根号10,即\8k-6\/根号（k^2+1）=根号10 ,∴27k^2-48k+13=0 ,∴k=13/9 或k=1/3 ,∴直线PA的方程为13x-9y-50=0 或x-3y+10=0 .（∵过点M作圆O的切线有两条,∴PA就有两种情况）.
（3）∵向量OA×OB=10cos