已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

Question

已知椭圆的短轴长为2√(3)，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题得椭圆的焦点在X轴上且2b=2√(3)，c=1
∴b=√(3)，a²=b²+c²=4．
∴椭圆的标准方程：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（2）由

y＝x+m

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

消去Y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
由直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点得△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0⇒m²＜7⇒−√(7)＜m＜√(7)．
所以m的取值范围是（-√(7)，

作业帮用户 2017-10-10

问题解析

（1）先由题分析出椭圆的焦点在X轴上且2b=2√(3)，c=1；求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题涉及到椭圆标准方程的求法．在求圆锥曲线的标准方程时，一定要先判断焦点所在位置，避免出错．

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