求证高中数学标准椭圆,圆上一点与两焦点组成角时,短轴一顶点与长轴两交点所组成的角为最大值.让我能看懂,最好有图.

Question

求证高中数学标准椭圆,圆上一点与两焦点组成角时,短轴一顶点与长轴两交点所组成的角为最大值.
让我能看懂,最好有图.

Answer 1

长轴顶点分别为A,B,椭圆上任一点为M
要让∠AMB最大也就是要让∠MAB+∠MBA最小
设这两个角为α,β,因为∠AMB必定是钝角,所以α+βb>0,设M点坐标为(x,y),x≠a,
则tanα=|y|/(a+x),tanβ=|y|/(a-x)
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=[|y|/(a+x)+|y|/(a-x)]/[1-y?/(a?-x?)]=2a|y|/(a?-x?-y?)
将x?=a?(1-y?/b?)代入上式得到tan(α+β)=2a|y|/(a?/b?-y?)=2a/[(a?/b?-1)|y|]
因为a>b>0,所以a?/b?-1>0,所以上式在|y|最大的时候取最小值,
|y|最大的时候也就是M为短轴顶点的时候,
所以当M是短轴顶点的时候tan(α+β)最小,所以此时α+β最小,所以∠AMB此时最大.证毕.