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以O为中心,F1,F2为两个焦点的椭圆上存在一点M,满足MF1=2MO=2MF2,则该椭圆的离心率是多少
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以O为中心,F1,F2为两个焦点的椭圆上存在一点M,满足MF1=2MO=2MF2,则该椭圆的离心率是多少
▼优质解答
答案和解析
延长MO与椭圆交于N,因 MN 与 F1F2 互相平分,所以四边形 MF1NF2 是平行四边形,
根据平行四边形 "对角线的平方和等于四条边的平方和",
所以有:MN²+F1F2²=MF1²+MF2²+NF1²+NF2²
MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a (长轴长) ,NF1= MF2=(2/3)a,NF2= MF1=(4/3)a,
F1F2=2c,代入上式
[ (4/3) a]²+(2c)²=[(4/3)a]²+[(2/3)a]²+[(2/3)a]²+[(4/3)a]²
c²/a²=2/3
e=√(2/3)=√6 / 3.
根据平行四边形 "对角线的平方和等于四条边的平方和",
所以有:MN²+F1F2²=MF1²+MF2²+NF1²+NF2²
MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a (长轴长) ,NF1= MF2=(2/3)a,NF2= MF1=(4/3)a,
F1F2=2c,代入上式
[ (4/3) a]²+(2c)²=[(4/3)a]²+[(2/3)a]²+[(2/3)a]²+[(4/3)a]²
c²/a²=2/3
e=√(2/3)=√6 / 3.
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