P是椭圆x∧2／27＋y∧2／16＝1上的点P到直线4x＋3y－25＝0的距离最小值为

Question

P是椭圆x∧2／27＋y∧2／16＝1上的点P到直线4x＋3y－25＝0的距离最小值为

Answer 1

【法1】（同一楼）
析： 要使距离最小,就是与直线4x＋3y－25＝0平行,且与椭圆相切的直线(有两条).
切点离4x＋3y－25＝0最远或最近.
设直线方程为,4x＋3y+m=0,与椭圆相切,代入椭圆方程x²／27＋y²／16＝1,得:
64x²+24mx+3m²-432=0
∵△=0,解出m²=4×144,即m=±24
切线为：4x＋3y±24＝0,
最小值为：直线4x＋3y-24＝0与直线4x＋3y－25＝0的距离：d=1/5
【法2】设动点P(3√3cosθ ,4sinθ )……（参数方程）
∴d=|12√3cosθ ＋12sinθ－25|/5
=|24sin(θ+60°)－25|/5
=[25-24sin(θ+60°)]/5…………（∵24sin(θ+60°)≦25)
=5-24sin(θ+60°)/5
≥5-24/5
=1/5
当且仅当sin(θ+60°)=1,即P(9/2 ,2 )时取得最值.