根轨迹法则中闭环特征方程的根之和与根之积中条件n－m≧2怎么得来的

Question

根轨迹法则中闭环特征方程的根之和与根之积中条件n－m≧2怎么得来的

Answer 1

根据韦达定理的推广,n次方程各个根之和就等于负的次高项（s^(n-1)那项）系数,各个根之积就等于常数项（最高次项化成1的时候）.这就是把初中韦达定理从一元二次推广到n次.
当n-m>=2的时候,特征方程次高项系数与根迹增益K*无关,是一个常数,此时闭环的根之和就是开环根之和,当n-m>=2不成立时,次高项系数中带有K*,也就是说闭环根之和与K*有关,根之和定理就不成立.LZ自己试一试就知道,特征方程就是开环的分子加分母,当分母比分子高两次以上时,分子上带有K*的项就没法加到次高项系数上去,次高项系数就是常数.
另外,根之积无论如何是一定会随着K*变化的,无论n-m>=2是否成立.因为决定根之积的是特征方程常数项,常数项中是无论如何都一定带有K*的（除非K*=0,不过这样就没意义了）.
所以注意,只有根之和定律要满足n-m>=2,但是根之积一定会随着K*变化,所以没有什么根之积定律,但是根之积有一个表达式,根之积=K*II(z)+II(p),II是连乘符号,z是各开环零点,p是各开环极点.