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正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3B．1：C．D．
题目详情
正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．
A．1：3
B．1：
C．
D．
▼优质解答
答案和解析
三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，求出正三棱锥的外接球半径；再利用三棱锥的体积的两种求法，列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式，求出内切球的半径，最后求得内切球与外接球的半径之比即可．
【解析】
三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：
a
球的半径为：
，
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
=
[
×3+
]×r，
∴r=
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
=
．
故选D．
【解析】
三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：
a球的半径为：
，再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
=[×3+]×r，∴r=
，∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
=．故选D．
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