在棱长为1的正方体内，有两个球相外切并且分别与正方体的面相切．(1)求这两个球的半径之和；(2)球的半径是多少时，两球体积之和最小．

Question

在棱长为1的正方体内，有两个球相外切并且分别与正方体的面相切．

(1)求这两个球的半径之和；

(2)球的半径是多少时，两球体积之和最小．

Answer 1

　　(1)如图所示，ABCD为过球心和对棱AB、CD的截面，则AC＝．

　　设两个球半径分别为R、r，则AC＝AO₁＋O₁O₂＋O₂C＝r＋(r＋R)＋R＝，∴R＋r＝．

　　(2)设两个球体积之和为V，则V＝π(R³＋r³)＝π(R＋r)(R²－Rr＋r²)＝π(R＋r)[(R＋r)²－3Rr]＝π··[3R²－R＋()²]．

　　当R＝r＝时，V有最小值．