如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中O1，O2，…On，为n个（n≥2）相等的圆，O1与O2相外切，O2与O3相外切…，On-1与On相外切，O1，O2，…，On都与AB相切，且O1与AC相切，On与BC相

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中 O₁， O₂，… O_n，为n个（n≥2）相等的圆， O₁与 O₂相外切， O₂与 O₃相外切…， O_n-1与 O_n相外切， O₁， O₂，…， O_n都与AB相切，且 O₁与AC相切， O_n与BC相切，求这些等圆的半径r（用n表示）．

Answer 1

连接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，如图所示：
则S△AO1C=(1)/(2)AC•r=2r，S△BOnC=(1)/(2)BC•r=(3)/(2)r
∵等圆 O₁， O₂，…， O_n依次外切，且均与AB边相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直线O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r+2r=2（n-1）r．
过点C作CH⊥AB于点H，交O₁O_n于点K，
则CH=(12)/(5)，CK=(12)/(5)-r．
S△CO1On=(1)/(2)O₁O₂•CK=（n-1）（(12)/(5)-r）r，S梯形AO1OnB=(1)/(2)[2（n-1）r+5]r=[（n-1）+(5)/(2)]r，
∵△ABC的面积=△AO₁ C的面积+△BO_nC的面积+△CO₁ O_n的面积+梯形AO₁O_nB的面积，
∴6=(3)/(2)r+2r+（n-1）（(12)/(5)-r）r+[（n-1）r+(5)/(2)]r，
解得：r=(5)/(2n+3)，
即这些等圆的半径r=(5)/(2n+3)．