如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

Question

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

证明：连接OA，OB，OC，BD．
∵OA⊥AP，AD⊥OP，
∴由射影定理可得：PA²=PD•PO，AD²=PD•OD．…（5分）
又由切割线定理可得 PA²=P B•P C，
∴P B•P C=PD•PO，
∴D、B、C、O四点共圆，…（10分）
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，
∴△PBD∽△COD，
∴(PD)/(CD)＝(BD)/(OD)，…（15分）
∴BD•CD=PD•OD=AD²，
∴(BD)/(AD)＝(AD)/(CD)．
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，
∴△BDA∽△ADC，…（20分）
∴∠BAD=∠ACD，
∴AB是△ADC的外接圆的切线，
∴∠BAE=∠ACB．…（25分）