△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明你

Question

△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．
（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；
（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明你的理由．

Answer 1

（1）证明：如图1中，在CB上截取CM=CE，连接OM．

∵∠A=60°，∠ACB=90°，
又∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠FCA=∠FCB=45°，∠ABE=∠EBC=15°，
∴∠BFC=∠A+∠ACF=105°，∠CEB=∠A+∠ABE=75°
在△OCE和△OCM中，

OC=OC

∠OCM=∠OCE

CE=CM

，
∴△OCE≌△OCM，
∴∠CEO=∠OEC=75°，
∴∠BMO=180°-∠CMO=105°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，

OB=OB

∠OBF=∠OBM

∠BFO=∠BMO

，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．

（2）结论：成立，BC=BF+CE．
理由：如图2中，在CB上截取CM=CE，连接OM．

∵∠A=60°，
∴(1)/(2)∠ABC+(1)/(2)∠ACB=60°，
即∠ABE+∠ACF=60°，
∵∠BFO=∠A+∠FCA，∠CEO=∠A+∠ABE，
∴∠BFO+∠CEO=2∠A+∠FCA+∠ABE=180°，
由△OCM≌△OCE，得∠CEO=∠CMO，
∵∠CMO+∠BMO=180°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，

OB=OB

∠OBF=∠OBM

∠BFO=∠BMO

，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．