下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（）A.f（x）=exB.f（x）=x3C.f（x）=lnxD.f（x）=sinx

Question

下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（　　）
A. f（x）=e^x
B. f（x）=x³
C. f（x）=lnx
D. f（x）=sinx

Answer 1

设切点的横坐标为x₁，x₂
则存在无数对互相垂直的切线，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有无数对x₁，x₂使之成立
对于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
对于C由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=(1)/(x)＞0，
对于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
当x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故选D