直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，求a的值及切点坐标．

Question

直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x³-x²+1相切，求a的值及切点坐标．

Answer 1

设直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀），则y=x³-x²+1的导数y′=3x²-2x．
由题意知直线l的斜率k=1，即3x₀²-2x₀=1，解得x₀=-(1)/(3)或x₀=1．
因此，切点的坐标为（-(1)/(3)，(23)/(27)），或（1，1）．
当切点为（-(1)/(3)，(23)/(27)）时，有(23)/(27)=-(1)/(3)+a，∴a=(32)/(27)；
当切点为（1，1）时，1=1+a，a=0（舍去）．
所以a的值为(32)/(27)，切点坐标为（-(1)/(3)，(23)/(27)）．