已知圆C：x2+y2-x-8y+m=0，点R是直线y=x上一动点，（1）若圆C与直线y=x相离，过动点R作圆C的切线，求切线长的最小值的平方f（m）；（2）若圆C与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点，R（1，1）且PR⊥QR，

Question

已知圆C：x²+y²-x-8y+m=0，点R是直线y=x上一动点，
（1）若圆C与直线y=x相离，过动点R作圆C的切线，求切线长的最小值的平方f（m）；
（2）若圆C与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点，R（1，1）且PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

（1）圆C：x²+y²-x-8y+m=0化成标准方程，得（x-(1)/(2)）²+（y-4）²=(65)/(4)-m．
∴圆心为C（(1)/(2)，4），半径r＝√((65)/(4)−m)，
又∵圆C与直线y=x相离，∴点C到直线y=x的距离大于半径r，
即d=(|(1)/(2)−4|)/(√(2))＞√((65)/(4)−m)，即(7√(2))/(4)＞√((65)/(4)−m)，解得(81)/(8)＜m＜(65)/(4)．
根据圆切线的性质，可得当动点R与点C直线y=x上的射影重合时，
切线长达到最小值，
此时切线长l=√(作业帮用户2016-12-05问题解析（1）由圆C方程算出圆心为C（(1)/(2)，4）、半径r＝√((65)/(4)−m)．根据题意，当动点R与点C直线y=x上的射影重合时切线长达到最小值，由此结合点到直线的距离公式与勾股定理加以计算，可得切线长的最小值的平方f（m）；（2）利用PQ的中垂线方程与PQ方程联解，得到PQ的中点为M（0，3）．由PR⊥QR得|MP|=|MQ|=|MR|=√(5)，算出|CM|＝(√(5))/(2)并结合r2=|MQ|2+|CM|2建立关于m的等式，解之即可得到实数m的值．名师点评本题考点：圆的切线方程；圆的一般方程．考点点评：本题给出含有参数m的圆方程，在指定的条件下求m的值．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)