如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为弧AD的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若FEED=12，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弓形）的面

Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为弧AD的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若(FE)/(ED)=(1)/(2)，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer 1

（1）证明：∵OC为半径，点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD．
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD．
∴OF∥BD．

（2）∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=(1)/(2)BD．
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE．
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴(FC)/(BD)=(EF)/(ED)=(1)/(2)，∴FC=(1)/(2)BD．
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点．
∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形．
∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为(√(3))/(2)×6=3√(3)．
∴S_阴影=(60π×62)/(360)-(1)/(2)×6×3√(3)=6π-9√(3)（cm²）．
答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π-9√(3)）cm²．