弓形面积公式弦长高已知弓形的弦长为8.8最高位置为1.4求面积急用写下公式

Question

弓形面积公式 弦长 高
已知弓形的 弦长为8.8 最高位置为 1.4 求面积 急用写下公式

Answer 1

分析：因为8.8>1.4π,所以此弓形是一个劣弧弓形,则解答如下：
画图,构造一个扇形,弓形面积等于扇形面积减去三角形面积.
已知：弦长m,弦高为h（即你说的最高位置）
设：弓形所在圆半径为r,则在图形中的直角三角形中有
(m/2)²+(r-h)²=r²,则r=(m²+4h²)/(8h)；
设：扇形圆心角为α,则在图形中的直角三角形中有
sin(α/2)=(m/2)/r=(m/2)/((m²+4h²)/(8h))=(8mh)/(m²+4h²)；
则α/2=arcsin((8mh)/(m²+4h²)),α=2arcsin((8mh)/(m²+4h²))；
则弓形面积S为：
S=S扇形-S三角形
=(αr²/2)-(m(r-h)/2)
=(arcsin((8mh)/(m²+4h²))((m²+4h²)/(8h))²)-(m(((m²+4h²)/(8h))-h)/2)
=(arcsin((8mh)/(m²+4h²))((m²+4h²)/(8h))²)-(m(m²-4h²)/(16h))
即弦长为m,弦高为h的弓形面积S为：
S=(arcsin((8mh)/(m²+4h²))((m²+4h²)/(8h))²)-(m(m²-4h²)/(16h))
代入m=8.8、h=1.4到上式,用计算器计算得：S≈8.37730877888312≈8.4