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(2014•南充)如图,已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在CD的延长线上,EP=EG,(1)求证:直线EP为⊙O的切线;(2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•
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(1)求证:直线EP为⊙O的切线;
(2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•BO.试证明BG=PG;
(3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为3,sinB=
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3 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连结OP,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce73faeb819145d688d43f204d.jpg)
∵EP=EG,
∴∠EPG=∠EGP,
又∵∠EGP=∠BGF,
∴∠EPG=∠BGF,
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∵CD⊥AB,
∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,
∴∠EPG+∠OPB=90°,
∴直线EP为⊙O的切线;
(2)证明:如图,连结OG,OP,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2fdfc039245d68860389016a7c27d1ed21b244d.jpg)
∵BG2=BF•BO,
∴
=
,
∴△BFG∽△BGO,
∴∠BGO=∠BFG=90°,
由垂线定理知:BG=PG;
(3)如图,连结AC、BC、OG、OP,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e61c3465882cb39dbb6fd3c4d.jpg)
∵sinB=
,
∴
=
,
∵OB=r=3,
∴OG=
,
由(2)得∠EPG+∠OPB=90°,
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°,
∴∠B=∠OGF,
∴sin∠OGF=
=
∴OF=1,
∴BF=BO-OF=3-1=2,FA=OF+OA=1+3=4,
在Rt△BCA中,
CF2=BF•FA,
∴CF=
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce73faeb819145d688d43f204d.jpg)
∵EP=EG,
∴∠EPG=∠EGP,
又∵∠EGP=∠BGF,
∴∠EPG=∠BGF,
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∵CD⊥AB,
∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,
∴∠EPG+∠OPB=90°,
∴直线EP为⊙O的切线;
(2)证明:如图,连结OG,OP,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2fdfc039245d68860389016a7c27d1ed21b244d.jpg)
∵BG2=BF•BO,
∴
BG |
BO |
BF |
BG |
∴△BFG∽△BGO,
∴∠BGO=∠BFG=90°,
由垂线定理知:BG=PG;
(3)如图,连结AC、BC、OG、OP,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6e61c3465882cb39dbb6fd3c4d.jpg)
∵sinB=
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3 |
∴
OG |
OB |
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3 |
∵OB=r=3,
∴OG=
3 |
由(2)得∠EPG+∠OPB=90°,
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°,
∴∠B=∠OGF,
∴sin∠OGF=
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3 |
OF |
OG |
∴OF=1,
∴BF=BO-OF=3-1=2,FA=OF+OA=1+3=4,
在Rt△BCA中,
CF2=BF•FA,
∴CF=
BF•FA |
作业帮用户
2017-11-03
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