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(2013•德阳)如图,已知AB是⊙O直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P.(1)求证:PC=PG;(2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是
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(1)求证:PC=PG;
(2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是BC的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为5,若点O到BC的距离为
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连结OC,如图,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCG+∠PCG=90°,
∵ED⊥AB,
∴∠B+∠BGF=90°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCG,
∴∠PCG=∠BGF,
而∠BGF=∠PGC,
∴∠PGC=∠PCG,
∴PC=PG;
(2)CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF.理由如下:
连结OG,如图,
∵点G是BC的中点,
∴OG⊥BC,BG=CG,
∴∠OGB=90°,
∵∠OBG=∠GBF,
∴Rt△BOG∽Rt△BGF,
∴BG:BF=BO:BG,
∴BG2=BO•BF,
∴CG2=BO•BF;
(3)连结OE,如图,
由(2)得OG⊥BC,
∴OG=
,
在Rt△OBG中,OB=5,
∴BG=
=2
,
由(2)得BG2=BO•BF,
∴BF=
=4,
∴OF=1,
在Rt△OEF中,EF=
=2
,
∵AB⊥ED,
∴EF=DF,
∴DE=2EF=4
.

∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCG+∠PCG=90°,
∵ED⊥AB,
∴∠B+∠BGF=90°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCG,
∴∠PCG=∠BGF,
而∠BGF=∠PGC,
∴∠PGC=∠PCG,
∴PC=PG;
(2)CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF.理由如下:
连结OG,如图,
∵点G是BC的中点,
∴OG⊥BC,BG=CG,
∴∠OGB=90°,
∵∠OBG=∠GBF,
∴Rt△BOG∽Rt△BGF,
∴BG:BF=BO:BG,
∴BG2=BO•BF,
∴CG2=BO•BF;
(3)连结OE,如图,
由(2)得OG⊥BC,
∴OG=
5 |
在Rt△OBG中,OB=5,
∴BG=
OB2−OG2 |
5 |
由(2)得BG2=BO•BF,
∴BF=
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5 |
∴OF=1,
在Rt△OEF中,EF=
OE2−OF2 |
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∵AB⊥ED,
∴EF=DF,
∴DE=2EF=4
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