（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是

Question

（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为√(5)时，求弦ED的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；

（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG²=BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG²=BO•BF，
∴CG²=BO•BF；

（3）连结OE，如图，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG=√(5)，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG=√(OB2−OG2)=2√(5)，
由（2）得BG²=BO•BF，
∴BF=(20)/(5)=4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF=√(OE2−OF2)=2√(6)，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4√(6)．