设直线3x+4y-5=0与圆C1：x2+y2=4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是．

Question

设直线3x+4y-5=0与圆C₁：x²+y²=4交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，则圆C₂的半径的最大值是______．

Answer 1

由圆C₁：x²+y²=4，可得圆心O（0，0），半径R=2
如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得

3x+4y−5＝0

x2+y2＝4

，消去y得到25x²-30x-39=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=(6)/(5)，所以线段AB的中点Q的横坐标为(3)/(5)，把x=(3)/(5)代入直线方程中解得y=(4)/(5)，
所以Q（(3)/(5)，(4)/(5)），则两圆心之间的距离OQ=d=√(((3)/(5))2+((4)/(5))2)=1，
因为两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=R-d=2-1=1
故答案为：1