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如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦ED交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.若PC=PF,求证:AB⊥ED.
题目详情
如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧
上一点,弦ED交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.若PC=PF,求证:AB⊥ED.
AC |
▼优质解答
答案和解析
证明:连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵∠CFP=∠AFH,
∴∠AFH+∠OAC=90°,
∴∠AHF=90°,
即:AB⊥ED.
∵PC为⊙O的切线,
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵∠CFP=∠AFH,
∴∠AFH+∠OAC=90°,
∴∠AHF=90°,
即:AB⊥ED.
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