如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上，质量m=1kg的小物块经弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以vD=10m/s的速度

Question

如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上，质量m=1kg的小物块经弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以v_D=√(10)m/s的速度沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道DEF（小物块与轨道间无碰撞）．O为圆弧轨道的圆心，E为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的半径R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．我小物块运动到F点后，冲上足够长斜面FG，斜面FG与与圆轨道相切于F点，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不计空气阻力．求：

（1）弹簧最初具有的弹性势能；
（2）小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对轨道的压力大小；
（3）判断小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后能否回到圆弧轨道的D点？若能，求解小物块回到D点的速度；若不能，求解经过足够长的时间后小物块通过圆弧轨道最低点E的速度大小．

Answer 1

（1）物块由D点沿圆轨道切线进入圆轨道，则知通过D点的速度与水平方向的夹角为60°．
由速度分解法可得：物块通过C点的速度为：v_C=v_Dcos60°=(√(10))/(2)m/s
弹簧最初具有的弹性势能为：E_p=(1)/(2)m

v

2 C

=1.25J
（2）物块从D到E，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）+(1)/(2)m

v

2 D

=(1)/(2)m

v

2 E

在E点，由牛顿第二定律得：
N-mg=m(v2E)/(R)
联立解得：v_E=2√(5)m/s，N=30N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力为：N′=N=20N
（3）设物块第一次沿斜面上滑的距离为S．从E点到斜面上的最高点，根据动能定理得：
-mgR（1-cos37°）-mgSsin37°-μmgcos37°•S=0-(1)/(2)m

v

2 E

解得：S=0.8m
设小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后距E点的最大高度为h．从斜面上最高点到左侧最高点的过程，根据动能定理得：
mgR（1-cos37°）+mgSsin37°-mgh-μmgcos37°•S=0
解得：h=0.36m
因为h>R（1-cos37°）=0.2m，所以物块能回到圆弧轨道的D点．
答：（1）弹簧最初具有的弹性势能是1.25J；
（2）小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对轨道的压力大小是30N；
（3）物块能回到圆弧轨道的D点．