如图甲所示，固定轨道由倾角为θ的斜导轨与水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成，轨道所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两导轨间距为L，上端用阻值为R的

Question

如图甲所示，固定轨道由倾角为θ的斜导轨与水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成，轨道所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两导轨间距为L，上端用阻值为R的电阻连接．在沿斜导轨向下的拉力（图中未画出）作用下，一质量为m的金属杆MN从斜导轨上某一高度处由静止开始（t=0）沿斜导轨匀加速下滑，当杆MN滑至斜轨道的最低端P₂Q₂处时撤去拉力，杆MN在水平导轨上减速运动直至停止，其速率v随时间t的变化关系如图乙所示（其中v_m和t₀为已知）．杆MN始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触，导轨和杆MN的电阻以及一切摩擦均不计．求：

（1）杆MN中通过的最大感应电流I_m；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量q；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上运动的路程s．

Answer 1

（1）经分析可知，杆MN下滑到P₂Q₂处时的速度最大（设为v_m），此时回路中产生的感应电动势最大，且最大值为：E_m=BLv_m，
此时回路中通过的感应电流最大，有：I_m=(Em)/(R)，
解得：I_m=(BLvm)/(R)；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的距离为：x=(vm)/(2)t0；
在杆MN沿斜导轨下滑的过程中，穿过回路的磁通量的变化为：△Ф=BLxcos θ，
该过程，回路中产生的平均感应电动势为：

.

E

=(△Φ)/(t0-0)，
回路中通过的平均感应电流为：

.

I

=(.E)/(R)；
又：q=

.

I

t0，
解得：q=(BLvmt0cosθ)/(2R)；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上做减速运动，设某时刻其速度大小为v，
则此时回路中通过的感应电流为：I=(BLv)/(R)，
设此时杆MN的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：BIL=ma，
设在趋近于零的时间△t内，杆MN的速度变化的大小为△v，有：a=(△v)/(△t)，
由以上三式可得：(B2L2)/(R)•v△t=m△v，
即：(B2L2)/(R)•s=m(vm-0)，
解得：s=(mRvm)/(B2L2)．
答：（1）杆MN中通过的最大感应电流为(BLvm)/(R)；
（2）杆MN沿斜导轨下滑的过程中，通过电阻R的电荷量为(BLvmt0cosθ)/(2R)；
（3）撤去拉力后，杆MN在水平导轨上运动的路程为(mRvm)/(B2L2)．