一质量为M的质点,从四分之一圆弧顶端滑下,求摩擦力所做的功（假设摩擦系数为a）.关键是具体的过程和思路,还有方程,是道高数题，昨天想错了，正确的做法是：(x为下滑的角度，a为摩擦系

Question

一质量为M的质点,从四分之一圆弧顶端滑下,求摩擦力所做的功（假设摩擦系数为a）.关键是具体的过程和思路,还有方程,
是道高数题，昨天想错了，正确的做法是：
(x为下滑的角度，a为摩擦系数，r为圆的半径）
Fn=mgsin(x)+mv^2/r
E0+mg(h1-h2)=w+(mv^2)/2
dw=a*Fn*r*dx
推出：
dw(x)/dx-2aw(x)=2(E0+mg(h1-h2))+amgrsin(x)
然后解一阶微分方程。

Answer 1

设圆弧半径为R,上端为A点,下端为O点,摩擦系数为u（不习惯用a,换一个吧）
先考虑M沿线段AO滑下来,AO轨道的摩擦系数仍为u.摩擦力做功为umgR.因为很简单,就不写这个过程了.
再考虑这样一个轨道：设弧AO的中点为B,轨道为折线段ABO.假设不考虑质点在B处由于碰撞的能量损失.再计算摩擦力做的总功,也为umgR.具体过程可以参见：
中我的回答.
由以上两个过程可以看出这样设置拐折点,摩擦力做的总功大小始终为umgR.那么就可以不断地这样设置拐折点,最终的轨道即可视为四分之一圆弧.所以摩擦力做的功仍为umgR
实际上从A到O引出的任意圆滑的轨道（不一定是四分之一圆弧）,摩擦系数为u的话,摩擦力做的功均为umgR
上面应用到的是逐渐逼近求精确解的方法.
话说可能上次的回答不太让人明白,还没被采纳,竟然推荐的机会也错过了.
如果觉得有没说明白的地方,欢迎继续交流.