求定积分的值被积函数是根号下的1+x^2,积分区间为[负根号二,根号二]不知表示清楚了没…

Question

求定积分的值
被积函数是根号下的1+x^2,积分区间为[负根号二,根号二]
不知表示清楚了没…

Answer 1

设此定积分的值是A,使用分部积分法,则A＝∫(-√2～√2)√(1+x^2)dx＝2√6－∫(-√2～√2) x^2/√(1+x^2)dx,把分子上的x^2拆开为(1+x^2)-1,则
A＝2√6－A＋∫(-√2～√2) 1/√(1+x^2)dx
套用不定积分公式计算∫(-√2～√2) 1/√(1+x^2)dx＝2ln(√3＋√2)
所以,A＝2√6－A＋2ln(√3＋√2),得A＝√6＋ln(√3＋√2)