如何证明改变有限多个点的函数值,不改变积分值如果一个函数在闭区间上可积,改变有限个点的值,积分值不变,如何用严格的理论证明?数学分析中的内容,书中说容易证明,但没有给出具体证明

Question

如何证明改变有限多个点的函数值,不改变积分值
如果一个函数在闭区间上可积,改变有限个点的值,积分值不变,如何用严格的理论证明?数学分析中的内容,书中说容易证明,但没有给出具体证明.

Answer 1

　　这里提供两种证法.
　　（1）利用可积的第二充要条件.这里不好写.
　　（2）利用可积函数类之 “闭区间上只有有限个第一类间断点的函数必可积.” 和可积函数的运算性质可证.
　　仅就只改变一点的值的情形证明之.设 f 在 [a,b] 上可积,g 与 f 除 x0∈[a,b]外处处相等,则
　h(x) = f(x)-g(x)
除x0∈[a,b]外处处为0,因而在[a,b]上可积,于是
g(x) = f(x)-h(x)
在[a,b]上可积.