已知椭圆x24+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定

Question

已知椭圆 (x2)/(4)+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得x1＝−2，x2＝−(6)/(5)，∴M(−(6)/(5)，(4)/(5))．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则

y＝k(x+2)

(x2)/(4)+y2＝1

化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴xM＝(2−8k2)/(1+4k2)，（7分）
同理可得xN＝(2k2−8)/(k2+4)．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为P(−(6)/(5)，0)．（9分）
∵kMP＝(yM)/(xM+(6)/(5))＝(k((2−8k2)/(1+4k2)+2))/((2−8k2)/(1+4k2)+(6)/(5))＝(5k)/(4−4k2)，（11分）
同理可计算得kPN＝(5k)/(4−4k2)．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点P(−(6)/(5)，0)．（16分）