正方形用3个等圆将其覆盖问圆最小直径

Question

正方形用3个等圆将其覆盖 问圆最小直径

Answer 1

用坐标描述方便点.设正方形的顶点为 （0,0）,（0,1）,（1,1）,（1,0）.
设R1,R2,R3三个圆是个满足条件的最佳覆盖.
三个圆必有一个圆含两个顶点.不妨设 R1 覆盖（0,0）,（1,0）．
因是最佳覆盖,则这两个顶点必定在R1的圆周上.（如果不在圆周上,可以往上平移或转动使得覆盖更多地方,并包含原来覆盖的地方.这点细说有点罗嗦.）设R1交正方形两侧边于（0,a）,（1,a）.
设R2 覆盖（0,1）,则R2覆盖（0,a）．同时顶边的中点（1／2,1）至少被R2,R3之一覆盖,不妨设R2覆盖,则R2 最小是以（0,a）,（1／2,1）两点为直径的圆.对称地R3是以（1,a）,（1／2,1）两点为直径的圆.
下面计算
R2与R1的直径相等 ＝＝＝》
R1直径：（0,a）,（1,0）
R2直径：（0,a）,（1／2,1）
1 ＋ a＾2 ＝ 1／4 ＋ （1－a）＾2
＝＝＞ a＝1／8
圆最小直径＝ 根（1＋1／64）＝根（65）／8