（2013•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．

Question

（2013•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=(3)/(5)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=(1)/(2)BF，
又∵OE=(1)/(2)BD，
则BF=BD；

（2）设BC=3x，根据题意得：AB=5x，
又∵CF=1，
∴BF=3x+1，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=(3x+1)/(2)，AO=AB-OB=5x-(3x+1)/(2)=(7x−1)/(2)，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即(OE)/(OA)=(3)/(5)，即((3x+1)/(2))/((7x−1)/(2))=(3)/(5)，
解得：x=(4)/(3)，
则圆O的半径为(3x+1)/(2)=(5)/(2)．