在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=.（1）求证：顶点A1在底面ABCD的射影在∠BAD的角平分线上；?（2）

Question

在平行六面体 ABCD — A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，已知 AB =5， AD =4， AA ₁ =3， AB ⊥ AD ，∠ A ₁ AB =∠ A ₁ AD = .

（1）求证：顶点 A ₁ 在底面 ABCD 的射影在∠ BAD 的角平分线上；?

（2）若 M 、 N 分别在 D ₁ C ₁ 、 B ₁ C ₁ 上且 D ₁ M =2， B ₁ N =2，求 BN 与 CM 所成的角.??

Answer 1

提示：
过A1作A1O⊥面ABCD于O，设∠BAO=θ1 ∠DAO=θ2 ∠A1AO=α.?（1）证明：依题意，cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠BAO ?即cos=cosα·cosθ1.?同理 cos=cosα·cosθ2.?∴cosθ1=cosθ2.又θ1与θ2均为锐角，?∴θ1=θ2 即AO是∠BAD的平分线.?∴A1在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上.?（2）
解析：
∵?= ?，?且AB⊥AD ?∴?=?=32-·3·5·cos+·4·3·cos-×1×5×cos?=.?又||=|+|?=?=，?||=||?=?=3.?cos〈 〉=.?∴BN与CM所成角为arccos.