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三棱锥p-ABC三条侧棱相等且底面是等腰三角形时顶点的射影是底面三角形的什么心
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三棱锥p-ABC三条侧棱相等且底面是等腰三角形时顶点的射影是底面三角形的什么心
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答案和解析
外心,即三角形外接圆的圆心,亦为三条边垂直平分线的交点
记AB中点为M 则OM垂直于AB
且AM=BM,又PA=PB 且有共边PM 所以PMA全等于三角形PMB
所以∠PMA=∠PMB=90 所以PM垂直AB
所以AB垂直OPM平面 所以平面ABC垂直于平面OPM
同理记AC的中点为N 那么有 平面ABC垂直于平面OPN
所以OPM平面与OPN平面的交线垂直于平面ABC,即OP垂直于平面ABC
所以,三棱锥p-ABC三条侧棱相等且底面是等腰三角形时顶点的射影是底面三角形的外心
记AB中点为M 则OM垂直于AB
且AM=BM,又PA=PB 且有共边PM 所以PMA全等于三角形PMB
所以∠PMA=∠PMB=90 所以PM垂直AB
所以AB垂直OPM平面 所以平面ABC垂直于平面OPM
同理记AC的中点为N 那么有 平面ABC垂直于平面OPN
所以OPM平面与OPN平面的交线垂直于平面ABC,即OP垂直于平面ABC
所以,三棱锥p-ABC三条侧棱相等且底面是等腰三角形时顶点的射影是底面三角形的外心
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