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设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.

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设斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点,且这两个交点在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为(  )
A. B. C. D.
▼优质解答
答案和解析
设斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点,且这两个交点在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为(  )
A. B. C. D.
A

分析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘2a 2 b 2 ,求得关于 的方程求得e.
两个交点横坐标是-c,c
所以两个交点分别为(-c,- c)(c, c)
代入椭圆 + =1
两边乘2a 2 b 2
则c 2 (2b 2 +a 2 )=2a 2 b 2
∵b 2 =a 2 -c 2
c 2 (3a 2 -2c 2 )=2a^4-2a 2 c 2
2a^4-5a 2 c 2 +2c^4=0
(2a 2 -c 2 )(a 2 -2c 2 )=0 =2,或
∵0<e<1
所以e= =
故选A
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