如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于D，HF、BC的延长线交于点E．（1）若HF⊥AB，求证：∠OAD=∠E；（2）若A点是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE一边上？

Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于D，HF、BC的延长线交于点E．
（1）若HF⊥AB，求证：∠OAD=∠E；
（2）若A点是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE一边上？请简述理由．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵HF⊥AB，
∴

BH

=

AH

，
∴∠AOH=∠ACB=(1)/(2)∠AOB，
∵∠AOD+∠AOH=180°，∠ECD+∠ACB=180°，
∴∠AOD=∠ECD，
∵∠ODA=∠CDE，
∴∠OAD=∠E；

（2）当AB是直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．
理由：①当AB是直径时，△CDE的外心在△CDE一边上．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
即△CDE是直角三角形，
∴△CDE的外心在△CDE边DE上；
②当A运动到使AC⊥HF时，△CDE是直角三角形．
此时△CDE的外心在△CDE边CE上．
综上两种情况下，当AB是直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．