设AD是△ABC的中线,△ABD、△ADC的外心分别为E、F,直线BE、CF交于点G,若DG=1/2BC,证明∠ADG=2∠ACG.

Question

设AD是△ABC的中线,△ABD、△ADC的外心分别为E、F,直线BE、CF交于点G,若DG=1/2BC,证明∠ADG=2∠ACG.

Answer 1

没图,抱歉,忍着读吧：
∵D为BC中点,且DG=1/2BC,∴BD=GD=CD,易知∠BGC＝90°
∵E、F为△ABD、△ADC的外心,联结EA、ED、FA、FD、EF,
若⊙E为△ABD外接圆,⊙F为△ADC外接圆,
所以AD为⊙E、⊙F公共弦,EF为连心线,∴EF垂直平分AD,易知△AEF与△DEF全等
∵F为△ADC的外心,∴AF=FC,∠ACG=∠FAC=1/2∠AFG
本题即证：∠AFG=∠ADG,即AGFD四点共圆
证：∵∠GBD+∠GCB=90°,且E、F为△ABD、△ADC的外心,
∴EB=ED,FD=FC,∴∠EDB=∠EBD,∠FCD=∠FDC
∴∠EDB+∠FDC=90°=∠EDF,∵△AEF与△DEF全等,∴∠EAF=∠EDF=90°
∴可知AEFD、EDFG四点共圆,∴AGFDE五点共圆,∴AGFD四点共圆
证毕~