设I为△ABC内一点,试证：I为△ABC内心的充要条件是：△IBC,△ICA,△IAB的外心均在△ABC的外接圆上.

Question

设I为△ABC内一点,试证：I为△ABC内心的充要条件是：△IBC,△ICA,△IAB的外心均在△ABC的外接圆上.

Answer 1

证明：
必要性：设I为△ABC内心,AI、BI、CI,的延长线分别交△ABC的外接圆与A1、B1、C1,连接A1C、A1B.
在△A1BI中,∠A1IB＝0.5﹙∠A＋∠B﹚,∠A1BI＝∠A1BC＋∠0.5B＝0.5﹙∠A＋∠B﹚,故A1B=A1I
同理：在△ICA1中,A1I=A1C,于是A1B=A1I=A1C
所以A1是△IBC的外心,同理B1、C1,分别是△ICA,△IAB的外心,即△IBC,△ICA,△IAB的外心均在△ABC的外接圆上.
充分性：设I’为△ABC内一点,△I’BC,△I’CA,△I’AB的外心均在△ABC的外接圆上,分别为A2、B2、C2.
由A2B＝A2C,A1B=A1C,知A1,A2重合,同理(B1、B2),(C1、C2)重合
由A1、C1,分别是△IBC,△IAB的外心,知A1C1垂直平分线段BI.则A1(A2)、C1(C2)分别是△I’BC,△I’AB的外心,知A1C1垂直平分线段BI’.由此知I’和I重合,即I’为△ABC内心
所以：I为△ABC内心的充要条件是：△IBC,△ICA,△IAB的外心均在△ABC的外接圆上.